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Die Delta-Distribution (auch δ-Funktion; Dirac-Funktion, -Impuls, -Puls, -Stoß (nach Paul Dirac), Stoßfunktion, Nadelimpuls, Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion genannt) als mathematischer Begriff ist eine spezielle singuläre Distribution mit kompaktem Träger. Ihr übliches Formelsymbol ist δ (kleines Delta).

• Definition

• Definition über Dirac-Maß

• Approximation der Delta-Distribution

• Dirac-Folge

• Bemerkungen

• Beispiele für Dirac-Folgen

• Weitere Beispiele

• Eigenschaften

• Singularität

• Ableitungen

• Fourier-Laplace-Transformation

• Praktische Anwendung

• Mehrdimensionale Delta-Distribution

• Definition

• Eigenschaften

• Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

• Einzelnachweise

Die Delta-Distribution ist eine stetige lineare Abbildung von einem Funktionenraum der Testfunktionen E {\displaystyle {\mathcal {E}}} in den zugrunde liegenden Körper K {\displaystyle \mathbb {K} } :

δ δ : : E → → K , f ↦ ↦ f ( 0 ) {\displaystyle \delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {K} \,,\,f\mapsto f(0)} .

Der Testfunktionenraum für die Delta-Distribution ist der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen C ∞ ∞ ( Ω Ω ) {\displaystyle C^{\infty }(\Omega )} mit Ω Ω ⊂ ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} bzw. Ω Ω ⊂ ⊂ C n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} ^{n}} offen und 0 ∈ ∈ Ω Ω {\displaystyle 0\in \Omega } . Somit entspricht K {\displaystyle \mathbb {K} } entweder den reellen R {\displaystyle \mathbb {R} } oder den komplexen Zahlen C {\displaystyle \mathbb {C} } .

Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion f {\displaystyle f} eine reelle bzw. komplexe Zahl δ δ ( f ) = f ( 0 ) {\displaystyle \delta (f)=f(0)} zu, nämlich die Auswertung der Funktion an der Stelle 0. Der Wert, den die Delta-Distribution nach Anwendung auf eine Testfunktion f ∈ ∈ E {\displaystyle f\in {\mathcal {E}}} liefert, schreibt man (mit der Notation der dualen Paarung) auch als

δ δ ( f ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = f ( 0 ) {\displaystyle \delta (f)=\langle \delta ,f\rangle =f(0)}

beziehungsweise auch als

δ δ ( f ) = ∫ ∫ Ω Ω δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) . {\displaystyle \delta (f)=\int _{\Omega }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)\,.}

Diese Schreibweise ist eigentlich nicht richtig und nur symbolisch zu verstehen, weil die Delta-Distribution eine singuläre Distribution ist, das heißt, sie lässt sich nicht durch eine lokal integrierbare Funktion in obiger Weise darstellen. Es gibt also keine Funktion δ δ {\displaystyle \delta } , welche der obigen Definition genügt. Insbesondere bei technisch orientierten Anwendungen des Konzepts sind dennoch mathematisch nicht präzise Bezeichnungen wie „Delta-Funktion“, „Dirac-Funktion“ oder „Impulsfunktion“ gebräuchlich. Bei Verwendung der Integral-Schreibweise ist zu beachten, dass es sich nicht um ein Riemann-Integral oder Lebesgue-Integral bzgl. des Lebesgue-Maßes, sondern um die Auswertung des Funktionals δ δ {\displaystyle \delta } an der Stelle f {\displaystyle f} , also δ δ ( f ) = f ( 0 ) {\displaystyle \delta (f)=f(0)} , handelt.

Das durch ein positives Radon-Maß μ μ {\displaystyle \mu } erzeugte Funktional ⟨ ⟨ μ μ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d μ μ {\displaystyle \textstyle \langle \mu ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \mu } (für f ∈ ∈ D {\displaystyle f\in {\mathcal {D}}} ) ist eine Distribution. Die Delta-Distribution wird von folgendem Radon-Maß – man spricht hier speziell vom Diracmaß – erzeugt:

δ δ ( A ) = { 1 , falls 0 ∈ ∈ A , 0 , sonst, {\displaystyle \delta (A)={\begin{cases}1,\ &{\text{ falls }}0\in A,\\0,\ &{\text{ sonst,}}\end{cases}}}

wobei A ⊆ ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } . Ein Maß lässt sich physikalisch interpretieren, z. B. als Massenverteilung oder Ladungsverteilung des Raums. Dann entspricht die Delta-Distribution einem Massenpunkt der Masse 1 oder einer Punktladung der Ladung 1 im Ursprung.

⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d δ δ = f ( 0 ) . {\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \delta =f(0).}

Befinden sich an den Stellen x i ∈ ∈ R {\displaystyle x_{i}\in \mathbb {R} } Punktladungen q i {\displaystyle q_{i}} , wobei die Summe über alle Ladungen endlich bleibt, dann wird für A ⊂ ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } ein Maß auf der σ σ {\displaystyle \sigma } -Algebra aller Teilmengen von R {\displaystyle \mathbb {R} } definiert, das der Ladungsverteilung entspricht ( i A {\displaystyle i_{A}} durchlaufe alle i {\displaystyle i} mit x i ∈ ∈ A {\displaystyle x_{i}\in A} ):

ρ ρ ( A ) := ∑ ∑ i A q i . {\displaystyle \rho (A):=\sum _{i_{A}}q_{i}.}

Für dieses Maß ist dann die zugehörige Distribution:

⟨ ⟨ ρ ρ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ f ( x ) d ρ ρ = ∑ ∑ i A f ( x i ) q i . {\displaystyle \langle \rho ,f\rangle =\int f(x)\,\mathrm {d} \rho =\sum _{i_{A}}f(x_{i})q_{i}.}

Man kann die Delta-Distribution wie alle anderen Distributionen auch als Grenzwert einer Funktionenfolge darstellen. Die Menge der Dirac-Folgen ist die wichtigste Klasse von Funktionenfolgen, mit denen die Delta-Distribution dargestellt werden kann. Jedoch gibt es noch weitere Folgen, die gegen die Delta-Distribution konvergieren.

Eine Folge ( δ δ k ) k ∈ ∈ N {\displaystyle (\delta _{k})_{k\in \mathbb {N} }} integrierbarer Funktionen δ δ k ∈ ∈ L 1 ( R n ) {\displaystyle \delta _{k}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} wird Dirac-Folge genannt, falls

1. für alle x ∈ ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} und alle k ∈ ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } die Bedingung δ δ k ( x ) ≥ ≥ 0 , {\displaystyle \delta _{k}(x)\geq 0\,,}

2. für alle k ∈ ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } die Identität ∫ ∫ R n δ δ k ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,\mathrm {d} x=1} und

3. für alle ϵ ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} die Gleichheit lim k → → ∞ ∞ ∫ ∫ R n ∖ ∖ B ϵ ϵ ( 0 ) δ δ k ( x ) d x = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\epsilon }(0)}\delta _{k}(x)\mathrm {d} x=0}

gilt. Manchmal versteht man unter einer Dirac-Folge auch nur einen Spezialfall der hier definierten Dirac-Folge. Wählt man nämlich eine Funktion ϕ ϕ ∈ ∈ L 1 ( R n ) {\displaystyle \phi \in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} mit ϕ ϕ ( x ) ≥ ≥ 0 {\displaystyle \phi (x)\geq 0} für alle x ∈ ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} und ∫ ∫ R n ϕ ϕ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\mathrm {d} x=1} und setzt δ δ ϵ ϵ ( x ) := ϵ ϵ − − n ϕ ϕ ( x ϵ ϵ ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\phi ({\tfrac {x}{\epsilon }})} für ϵ ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , dann erfüllt diese Funktionenschar die Eigenschaften 1 und 2. Betrachtet man den Grenzwert ϵ ϵ → → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} anstatt k → → ∞ ∞ {\displaystyle k\to \infty } , so ist auch Eigenschaft 3 erfüllt. Daher nennt man die Funktionenschar δ δ ϵ ϵ {\displaystyle \delta _{\epsilon }} ebenfalls Dirac-Folge.cite-ref-1[1]

Die Funktion δ δ k {\displaystyle \delta _{k}} kann man nun mit einer regulären Distribution

δ δ k ( f ) := ⟨ ⟨ δ δ k , f ⟩ ⟩ := ∫ ∫ R n δ δ k ( x ) f ( x ) d x {\displaystyle \delta _{k}(f):=\langle \delta _{k},f\rangle :=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{k}(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x}

identifizieren. Nur im Limes k → → ∞ ∞ {\displaystyle k\to \infty } erhält man das ungewöhnliche Verhalten der Delta-Distribution

lim k → → ∞ ∞ δ δ k ( f ) = lim k → → ∞ ∞ ⟨ ⟨ δ δ k , f ⟩ ⟩ = f ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\delta _{k}(f)=\lim _{k\to \infty }\langle \delta _{k},f\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }

wobei zu beachten ist, dass die Limes-Bildung nicht unter dem Integral, sondern davor erfolgt. Würde man den Limes unter das Integral ziehen, so wäre δ δ ϵ ϵ {\displaystyle \delta _{\epsilon }} fast überall Null, nur nicht bei x = 0 {\displaystyle x=0} . Ein einzelner Punkt hat jedoch das Lebesgue-Maß Null und das ganze Integral würde verschwinden.

Anschaulich stellt man sich die Delta-Distribution als eine beliebig hohe und beliebig schmale Funktion vor, die über der x-Achse eine Fläche mit Größe 1 Flächeneinheit einschließt. Man lässt nun die Funktion immer schmaler und dafür immer höher werden – die Fläche darunter muss konstant 1 bleiben. Es existieren auch mehrdimensionale Dirac-Distributionen, diese werden anschaulich zu mehrdimensionalen „Keulen“ mit dem Volumen 1.

Im Folgenden werden verschiedene Approximationen (Dirac-Folgen) δ δ ϵ ϵ ( x ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)} angegeben, zunächst stetig differenzierbare:

• Glockenfunktionen (Normalverteilungen)

δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 2 π π ϵ ϵ exp ⁡ ⁡ ( − − x 2 2 ϵ ϵ ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \epsilon }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\epsilon }}\right)}

Die angegebenen Funktionen besitzen ein sehr schmales und sehr hohes Maximum bei x = 0 {\displaystyle x=0} , die Breite ist etwa ϵ ϵ → → 0 {\displaystyle {\sqrt {\epsilon }}\to 0} und die Höhe etwa 1 / ϵ ϵ → → ∞ ∞ {\displaystyle 1/{\sqrt {\epsilon }}\to \infty } . Für alle ϵ ϵ {\displaystyle \epsilon } ist der Flächeninhalt unter der Funktion 1.

• Lorentzkurven

δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 π π ϵ ϵ x 2 + ϵ ϵ 2 {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}

• Fresnel-Darstellung

δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 i π π ϵ ϵ exp ⁡ ⁡ ( i x 2 ϵ ϵ ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {i} \pi \epsilon }}}\,\exp \left({\frac {\mathrm {i} x^{2}}{\epsilon }}\right)}

die man sich vorstellen kann als eine Linie, die auf einen Zylinder gewickelt ist, und deren Wicklungen durch das x 2 {\displaystyle x^{2}} immer enger werden; die Grundfläche (in x {\displaystyle x} - y {\displaystyle y} -Ausrichtung) des Zylinders wird aus dem Imaginär- und Realteil der Funktion gebildet, die Funktion entwickelt sich dann in z {\displaystyle z} -Richtung.

Es sind aber auch Approximationen möglich, die nur stückweise stetig differenzierbar sind:

• Rechteckfunktion

δ δ ϵ ϵ ( x ) = rect ⁡ ⁡ ( x / ϵ ϵ ) ϵ ϵ = { 1 ϵ ϵ | x | ≤ ≤ ϵ ϵ 2 0 sonst {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {\operatorname {rect} (x/\epsilon )}{\epsilon }}={\begin{cases}{\frac {1}{\epsilon }}&\ |x|\leq {\frac {\epsilon }{2}}\\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}

• Dreiecksfunktion

δ δ ϵ ϵ ( x ) = { ϵ ϵ + x ϵ ϵ 2 − − ϵ ϵ ≤ ≤ x ≤ ≤ 0 ϵ ϵ − − x ϵ ϵ 2 0 < x ≤ ≤ ϵ ϵ 0 sonst {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}{\dfrac {\epsilon +x}{\epsilon ^{2}}}&\ -\epsilon \leq x\leq 0\\{\dfrac {\epsilon -x}{\epsilon ^{2}}}&\ 0<x\leq \epsilon \\0&\ {\text{sonst}}\end{cases}}}

• Exponentialfunktion um Ursprung abfallend

δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 2 ϵ ϵ exp ⁡ ⁡ ( − − | x | ϵ ϵ ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{2\epsilon }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\epsilon }}\right)}

• Die Funktionenfolge der Sinc-Funktionen

δ δ ϵ ϵ ( x ) = 1 π π x sin ⁡ ⁡ ( x ϵ ϵ ) {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}

ist keine Dirac-Folge, da ihre Folgenglieder auch negative Werte annehmen. Betrachtet man allerdings den Ausdruck lim ϵ ϵ → → 0 ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ 1 π π x sin ⁡ ⁡ ( x ϵ ϵ ) ϕ ϕ ( x ) d x {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)\phi (x)\mathrm {d} x}

so konvergiert für alle ϕ ϕ ∈ ∈ D {\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}} diese Folge im distributionellen Sinn gegen die Delta-Distribution.

der Delta-Distribution: Faltungseigenschaft, auch Ausblendeigenschaftcite-ref-2[2], Siebeigenschaft genannt ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0)}

bzw. mit den Eigenschaften Translation und Skalierung (siehe unten) folgt: ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ f ( x ) δ δ ( x − − a ) d x = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ f ( x ) δ δ ( a − − x ) d x = f ( a ) , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (a-x)\,\mathrm {d} x=f(a),}

speziell für den Fall der konstanten Funktion 1: ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x − − a ) d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1}

⟨ ⟨ δ δ , f + g ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ + ⟨ ⟨ δ δ , g ⟩ ⟩ = f ( 0 ) + g ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta ,f+g\rangle =\langle \delta ,f\rangle +\langle \delta ,g\rangle =f(0)+g(0)}

⟨ ⟨ δ δ ( ⋅ ⋅ − − a ) , f ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ δ δ , f ( ⋅ ⋅ + a ) ⟩ ⟩ = f ( a ) {\displaystyle \langle \delta (\cdot -a),f\rangle =\langle \delta ,f(\cdot +a)\rangle =f(a)}

für δ δ ( ⋅ ⋅ − − a ) {\displaystyle \delta (\cdot -a)} ist auch die Bezeichnung δ δ a {\displaystyle \delta _{a}} gebräuchlich.

⟨ ⟨ δ δ ( a ⋅ ⋅ ) , f ⟩ ⟩ = 1 | a | ⟨ ⟨ δ δ , f ( ⋅ ⋅ a ) ⟩ ⟩ = 1 | a | f ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta (a\cdot ),f\rangle ={\frac {1}{|a|}}\langle \delta ,f({\tfrac {\cdot }{a}})\rangle ={\frac {1}{|a|}}f(0)}

und δ δ ( α α x ) = 1 | α α | δ δ ( x ) {\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)}

das heißt die Delta-Distribution ist positiv homogen vom Grad −1.

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat x {\displaystyle x} beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat δ δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} die Dimension (1/Länge).

∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ϕ ϕ ( x ) δ δ ( g ( x ) ) d x = ∑ ∑ i = 1 n ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ ϕ ϕ ( x ) δ δ ( x − − x i ) | g ′ ( x i ) | d x = ∑ ∑ i = 1 n ϕ ϕ ( x i ) | g ′ ( x i ) | , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)\,\delta (g(x))\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x){\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}\,\mathrm {d} x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\phi (x_{i})}{|g'(x_{i})|}},} δ δ ( g ( x ) ) = ∑ ∑ i = 1 n δ δ ( x − − x i ) | g ′ ′ ( x i ) | {\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g^{\prime }(x_{i})|}}}

wobei x i {\displaystyle x_{i}} die einfachen Nullstellen von g ( x ) {\displaystyle g(x)} sind (sofern g ( x ) {\displaystyle g(x)} nur endlich viele und nur einfache Nullstellen hat). Damit folgt als ein Spezialfall die Rechenregel δ δ ( x 2 − − α α 2 ) = 1 2 | α α | [ δ δ ( x − − α α ) + δ δ ( x + α α ) ] . {\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}[\delta (x-\alpha )+\delta (x+\alpha )].}

Die Singularität der Delta-Distribution lässt sich mit einem Widerspruchsbeweis zeigen:

Angenommen δ δ {\displaystyle \delta } wäre regulär, dann gäbe es eine lokal integrierbare Funktion δ δ ( x ) ∈ ∈ L lok 1 {\displaystyle \delta (x)\in L_{\text{lok}}^{1}} , also eine Funktion, die über jedes kompakte Intervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} bzgl. des Lebesgue-Maßes integrierbar ist

∫ ∫ a b | δ δ ( x ) | d x < ∞ ∞ {\displaystyle \int _{a}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<\infty }

so dass für alle Testfunktionen f ( x ) {\displaystyle f(x)} gilt:

⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) . {\displaystyle \langle \delta ,f\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,f(x)\,\mathrm {d} x=f(0).}

Wähle zunächst b ∈ ∈ R {\displaystyle b\in \mathbb {R} } derart, dass ∫ ∫ − − b b | δ δ ( x ) | d x < 1 {\displaystyle \textstyle \int _{-b}^{b}|\delta (x)|\mathrm {d} x<1} gilt. Betrachte dann die folgende Testfunktion ϕ ϕ b ( x ) {\displaystyle \phi _{b}(x)} mit kompaktem Träger [ − − b , b ] {\displaystyle [-b,b]} :

ϕ ϕ b ( x ) = { exp ⁡ ⁡ ( b 2 x 2 − − b 2 ) | x | < b 0 | x | ≥ ≥ b . {\displaystyle \phi _{b}(x)={\begin{cases}\exp {\Big (}{\frac {b^{2}}{x^{2}-b^{2}}}{\Big )}&|x|<b\\0&|x|\geq b.\end{cases}}}

Die Wirkung der Delta-Distribution auf diese ist:

⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ = ϕ ϕ b ( 0 ) = exp ⁡ ⁡ ( − − 1 ) = 1 e . {\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\phi _{b}(0)=\exp(-1)={\frac {1}{e}}.}

Mit der angenommenen regulären Distribution

⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x = ∫ ∫ − − b b δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x {\displaystyle \langle \delta ,\phi _{b}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x}

lässt sich folgende Abschätzung durchführen:

1 e = | ⟨ ⟨ δ δ , ϕ ϕ b ⟩ ⟩ | = | ∫ ∫ − − b b δ δ ( x ) ϕ ϕ b ( x ) d x | ≤ ≤ ‖ ‖ ϕ ϕ b ( x ) ‖ ‖ ∞ ∞ ⏟ ⏟ ϕ ϕ b ( 0 ) ∫ ∫ − − b b | δ δ ( x ) | d x < 1 e . {\displaystyle {\frac {1}{e}}=|\langle \delta ,\phi _{b}\rangle |=\left|\int _{-b}^{b}\delta (x)\,\phi _{b}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \underbrace {\|\phi _{b}(x)\|_{\infty }} _{\phi _{b}(0)}\,\int _{-b}^{b}|\delta (x)|\,\mathrm {d} x<{\frac {1}{e}}.}

Man erhält also einen Widerspruch; somit ist die Delta-Distribution nicht durch eine lokal integrierbare Funktion darstellbar. Der Widerspruch ergibt sich, weil die Menge {0} für das Lebesgue-Maß vernachlässigbar ist, nicht aber für das Dirac-Maß.

Die Delta-Distribution kann wie jede Distribution beliebig oft distributiv differenziert werden:

⟨ ⟨ δ δ ′ , f ⟩ ⟩ = − − ⟨ ⟨ δ δ , f ′ ⟩ ⟩ = − − f ′ ( 0 ) . {\displaystyle \langle \delta ',f\rangle =-\langle \delta ,f'\rangle =-f'(0).}

Dies gilt auch für die n {\displaystyle n} -te distributive Ableitung:

⟨ ⟨ δ δ ( n ) , f ⟩ ⟩ = ( − − 1 ) n ⟨ ⟨ δ δ , f ( n ) ⟩ ⟩ = ( − − 1 ) n f ( n ) ( 0 ) . {\displaystyle \langle \delta ^{(n)},f\rangle =(-1)^{n}\langle \delta ,f^{(n)}\rangle =(-1)^{n}f^{(n)}(0).}

Die Ableitungen der regulären Distributionen δ δ ϵ ϵ {\displaystyle \delta _{\epsilon }} können mittels partieller Integration berechnet werden (hier exemplarisch für erste Ableitung, analog für höhere)

⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ ′ ′ , f ⟩ ⟩ = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ′ ′ ( x ) f ( x ) d x = [ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ( x ) ] − − ∞ ∞ ∞ ∞ ⏟ ⏟ = 0 − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ′ ′ ( x ) d x = − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ δ δ ϵ ϵ ( x ) f ′ ′ ( x ) d x = − − ⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ , f ′ ′ ⟩ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }^{\prime }(x)\,f(x)\,\mathrm {d} x\\&=\underbrace {\left[\delta _{\epsilon }(x)\,f(x)\right]_{-\infty }^{\infty }} _{=0}-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta _{\epsilon }(x)\,f^{\prime }(x)\,\mathrm {d} x\\&=-\langle \delta _{\epsilon },f^{\prime }\rangle \end{aligned}}}

und ergeben im Limes ϵ ϵ → → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} das Verhalten der distributiven Ableitung:

lim ϵ ϵ → → 0 ⟨ ⟨ δ δ ϵ ϵ ′ ′ , f ⟩ ⟩ = − − f ′ ′ ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ ′ ′ , f ⟩ ⟩ . {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\langle \delta _{\epsilon }^{\prime },f\rangle =-f^{\prime }(0)=\langle \delta ^{\prime },f\rangle .}

Die Heaviside-Funktion Θ Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} ist nicht stetig differenzierbar, aber die distributive Ableitung existiert, diese ist nämlich die Delta-Distribution:

⟨ ⟨ Θ Θ ′ , f ⟩ ⟩ = − − ⟨ ⟨ Θ Θ , f ′ ⟩ ⟩ = − − ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ Θ Θ ( x ) f ′ ( x ) d x = − − ∫ ∫ 0 ∞ ∞ f ′ ( x ) d x = − − f ( ∞ ∞ ) ⏟ ⏟ = 0 + f ( 0 ) = ⟨ ⟨ δ δ , f ⟩ ⟩ . {\displaystyle \langle \Theta ',f\rangle =-\langle \Theta ,f'\rangle =-\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (x)\,f'(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{0}^{\infty }f'(x)\,\mathrm {d} x=-\underbrace {f(\infty )} _{=0}+f(0)=\langle \delta ,f\rangle .}

Da die Heaviside-Distribution keinen kompakten Träger hat, müssen hier die Testfunktionen beliebig oft differenzierbare Funktionen mit kompaktem Träger sein f ∈ ∈ C 0 ∞ ∞ ≅ ≅ D {\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }\cong {\mathcal {D}}} , das heißt f {\displaystyle f} muss im Unendlichen verschwinden.

Da die Delta-Distribution einen kompakten Träger hat, ist es möglich, die Fourier-Laplace-Transformation dieser zu bilden. Für diese gilt

δ δ ^ ^ = 1 . {\displaystyle {\hat {\delta }}=1\,.}

Die Fourier-Laplace-Transformation ist ein Spezialfall der Fourier-Transformation und somit gilt auch

F ( δ δ ) ( ϕ ϕ ) = δ δ ( F ( ϕ ϕ ) ) = δ δ ( ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − i x ξ ξ ϕ ϕ ( x ) d x ) = ⟨ ⟨ 1 , ϕ ϕ ⟩ ⟩ . {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\phi )=\delta ({\mathcal {F}}(\phi ))=\delta \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\xi }\phi (x)\mathrm {d} x\right)=\langle 1,\phi \rangle \,.}

Es gibt auch die Konvention, den Faktor 1 2 π π {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}} mit der Fourier-Transformation zu multiplizieren. In dem Fall ist 1 2 π π {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}} ebenfalls das Ergebnis der Fourier-Transformation der Delta-Distribution. Anschaulich bedeutet das Resultat der Transformation, dass in der Delta-Distribution alle Frequenzen enthalten sind, und zwar mit gleicher Stärke. Die Darstellung δ δ ( x ) = F − − 1 ( 1 ) {\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(1)} (beziehungsweise δ δ ( x ) = F − − 1 ( 1 2 π π ) {\displaystyle \delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}})} bei der anderen Konvention für den Vorfaktor) ist eine in der Physik wichtige Darstellung der Delta-Distribution.

Die Laplace-Transformation L {\displaystyle {\mathcal {L}}} der Delta-Distribution erhält man als Spezialfall der Fourier-Laplace-Transformation. Es gilt nämlich auch hier

L ( δ δ ) = 1 . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )=1\,.}

Im Gegensatz zur Fourier-Transformation gibt es hier keine anderen Konventionen.

Oftmals werden die Fourier beziehungsweise die Laplace-Transformation durch die gewöhnliche Integralschreibweise dargestellt. Jedoch sind diese Darstellungen

F ( δ δ ) ( ξ ξ ) = ∫ ∫ − − ∞ ∞ ∞ ∞ e − − i ξ ξ x δ δ ( x ) d x {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x}

für die Fourier-Transformation beziehungsweise

L ( δ δ ) ( ξ ξ ) = ∫ ∫ 0 ∞ ∞ e − − ξ ξ x δ δ ( x ) d x {\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta )(\xi )=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\xi x}\,\delta (x)\,\mathrm {d} x}

für die Laplace-Transformation nur symbolisch zu verstehen und mathematisch nicht definiert.

Es ist ebenfalls möglich die Fourier-Transformation beziehungsweise die Laplace-Transformation für die um a > 0 {\displaystyle a>0} verschobene Delta-Distribution δ δ a {\displaystyle \delta _{a}} zu berechnen. Es gilt

F ( δ δ a ) = e − − i ξ ξ a L ( δ δ a ) = e − − ξ ξ a . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \xi a}\\{\mathcal {L}}(\delta _{a})&=\mathrm {e} ^{-\xi a}.\end{aligned}}}

Praktische Bedeutung hat der Dirac-Stoß bei der Ermittlung der Impulsantwort in der Akustik (in anderen Sparten der Physik spricht man auch von einer δ δ {\displaystyle \delta } -Größe, wenn man meint, dass die betreffende Größe einer schmalst-möglichen Verteilung genügt). So hat jeder Raum ein eigenes Schallverhalten. Mit einem Dirac-Impuls (angenähert durch ein Klatschen mit den Händen) kann dieses Verhalten (durch Messen des „Echos“, also der Systemantwort) ermittelt werden.

Typische, technisch realisierbare Dirac-Werte:

• Hochspannungstechnik ca. 1–100 ns Halbwertsbreite

• Hochfrequenztechnik ca. 10–100 ps Halbwertsbreite

• Pulslasertechnik ca. 10–100 fs Halbwertsbreite

Eine wichtige Anwendung der Delta-Distribution ist die Lösung inhomogener linearer gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktion.

Im Mehrdimensionalen ist der Raum der Testfunktionen E {\displaystyle {\mathcal {E}}} gleich C ∞ ∞ ( R n ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})} , der Raum der beliebig oft total differenzierbaren Funktionen f : : R n → → R {\displaystyle f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } .

Die Delta-Distribution hat auf die Testfunktion f : : R n → → R {\displaystyle f\colon \,\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } die folgende Wirkung:

δ δ : : E → → R , f ↦ ↦ f ( 0 → → ) {\displaystyle \delta \colon \,{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} \,,\ f\mapsto f({\vec {0}})}

In der informellen Integralschreibweise unter Verwendung von Translation und Skalierung:

∫ ∫ f ( x → → ) δ δ ( x → → − − a → → ) d n x = ∫ ∫ f ( x → → ) δ δ ( a → → − − x → → ) d n x = f ( a → → ) {\displaystyle \int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})} .

Die „mehrdimensionale“ Delta-Distribution lässt sich als Produkt von „eindimensionalen“ Delta-Distributionen schreiben:

δ δ ( x → → − − a → → ) = δ δ ( x 1 − − a 1 ) δ δ ( x 2 − − a 2 ) … … δ δ ( x n − − a n ) {\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=\delta (x_{1}-a_{1})\,\delta (x_{2}-a_{2})\,\dots \,\delta (x_{n}-a_{n})} .

Speziell im Dreidimensionalen gibt es eine Darstellung der Delta-Distribution, die häufig in der Elektrodynamik eingesetzt wird, um Punktladungen darzustellen:

δ δ ( x → → − − a → → ) = − − 1 4 π π Δ Δ 1 ‖ ‖ x → → − − a → → ‖ ‖ 2 {\displaystyle \delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})=-{\frac {1}{4\pi }}\Delta {\frac {1}{\|{\vec {x}}-{\vec {a}}\|_{2}}}} .

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante

d 3 r = d x d y d z = det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) d a d b d c {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c}

berücksichtigt werden.cite-ref-3[3]

Der Ansatz

δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = γ γ ( a , b , c ) δ δ ( a − − a 0 ) δ δ ( b − − b 0 ) δ δ ( c − − c 0 ) {\displaystyle \delta ({{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})}

mit r → → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {r}}=(a,b,c)} und r → → 0 = ( a 0 , b 0 , c 0 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a_{0},b_{0},c_{0})} führt dabei auf die Gleichung

∫ ∫ V δ δ ( r → → − − r → → 0 ) d 3 r = ∭ ∭ V det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) γ γ ( a , b , c ) δ δ ( a − − a 0 ) δ δ ( b − − b 0 ) δ δ ( c − − c 0 ) d a d b d c = ! 1 {\displaystyle \int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint _{V}\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1} , falls r → → 0 ∈ ∈ V {\displaystyle {\vec {r}}_{0}\in V} .

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss

γ γ = ( det ∂ ∂ ( x , y , z ) ∂ ∂ ( a , b , c ) | r → → 0 ) − − 1 {\displaystyle \gamma =\left(\left.\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{{\vec {r}}_{0}}\right)^{-1}} .

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einem Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminante entspricht.

In Kugelkoordinaten mit r → → = ( r , θ θ , ϕ ϕ ) {\displaystyle {\vec {r}}=(r,\theta ,\phi )} und r → → 0 = ( r 0 , θ θ 0 , ϕ ϕ 0 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(r_{0},\theta _{0},\phi _{0})} gilt:

δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = 1 r 2 sin ⁡ ⁡ θ θ δ δ ( r − − r 0 ) δ δ ( θ θ − − θ θ 0 ) δ δ ( ϕ ϕ − − ϕ ϕ 0 ) {\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}~\delta (r-r_{0})~\delta (\theta -\theta _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})}

In Zylinderkoordinaten mit r → → = ( ρ ρ , ϕ ϕ , z ) {\displaystyle {\vec {r}}=(\rho ,\phi ,z)} und r → → 0 = ( ρ ρ 0 , ϕ ϕ 0 , z 0 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(\rho _{0},\phi _{0},z_{0})} gilt:

δ δ ( r → → − − r → → 0 ) = 1 ρ ρ δ δ ( ρ ρ − − ρ ρ 0 ) δ δ ( ϕ ϕ − − ϕ ϕ 0 ) δ δ ( z − − z 0 ) {\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})={\frac {1}{\rho }}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\phi -\phi _{0})~\delta (z-z_{0})}

• Dirac-Identität

• Kronecker-Delta

• Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1994, ISBN 3-540-57115-9 (Springer-Lehrbuch).

• Wolfgang Walter: Einführung in die Theorie der Distributionen. 3. vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17023-9.

• F. G. Friedlander: Introduction to the Theory of Distributions. With additional material by M. Joshi. 2. edition. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1998, ISBN 0-521-64015-6.

Commons

: Delta-Distribution

– Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

cite-note-11. ↑ Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: eine anwendungsorientierte Einführung. 5. überarb. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a., 2006, ISBN 3-540-34186-2, Seite 109.

cite-note-22. ↑ Rüdiger Hoffmann: Grundlagen der Frequenzanalyse. Eine Einführung für Ingenieure und Informatiker. Mit 11 Tabellen Expert Verlag, 2005, ISBN 978-3-8169-2447-0, S. 26.

cite-note-33. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3. Elektrodynamik. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2007, ISBN 978-3-540-71251-0.